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Medidas de Riesgo: VaR – Value at risk / Valor en riesgo #2

20 noviembre 2009

En nuestro artículo del día 18 de Noviembre,  explicamos  el VaR como herramienta para medir el riesgo,  que en palabras más simples es una medida que nos muestra la máxima pérdida esperada en un determinado período con un nivel de confianza dado.

En esta segunda parte, vamos a ver algunas aproximaciones de cómo podemos calcular el VAR de una manera muy simple.

CÁLCULO DEL VAR

La  manera más simple  es obtenerlo mediante simulaciones con los datos históricos de los rendimientos de un activo (o portafolio), para lo cual debemos determinar cuales son los valores posibles que puede tener el activo/portafolio bajo diferentes escenarios, por lo tanto estamos asumiendo  que lo que sucedió  en el pasado puede volver a suceder en el futuro.

Excel o cualquier paquete estadístico (por ejemplo crystall ball), nos facilitan el cálculo, los datos históricos lo podemos obtener de fuentes de información como yahoo finance.

Suponga que tenemos 251 datos de precios del único activo que compone nuestro portafolio, y que hoy ese portafolio vale: Vo=$100 Millones

Lo primero que tenemos que hacer es calcular los rendimientos logarítmicos diarios: Rt =ln(Pt+1/Pt), luego, calculamos el valor del portafolio  para cada día según un escenario probable calculado de la siguiente manera:

Vt=Vo*(1+Rt)

Ya que  Vo=100 :

Si lo que poseemos es un portafolio que  tiene X1, X2. X3,,, Xn cantidad de activos, lo que tenemos que hacer es multiplicar las participaciones % de cada activo  ( q1, q2, q3 ,qn ) por el rendimiento de cada activo (Rt) , sumarlas y luego multiplicar ese resultado por Vo

Vt=(q1*(1+Rt1))+(q2*(1+Rt2))+(q3*(1+Rt3))….)*Vo

Como siguiente paso, en la barra de Menú de Excel: Herramientas, Análisis de datos,  seleccionamos histograma, el cual nos clasifica los valores posibles del portafolio según unos rangos/clases que Excel  determine (o ustedes determinen), versus la frecuencia/distribución con que se acumulan esos datos en ese determinado valor del portafolio así:

Si observamos este grafico podemos ver que nos brinda una idea de cómo puede ser el comportamiento del valor esperado de mi portafolio: es decir el 76% de los datos tienen un valor  entre -∞ y $101.80, el cual se concentra en  un rango entre $99.301 y $100.56 con un total de 68 datos de los 250 .

Como lo que nos interesa es el mínimo valor que el portafolio pueda tener (Vc), con un 95% de confianza (1-α) , debemos calcular ese portafolio Vc con un α =5%  que estadísticamente  se le denomina percentil; Vc será entonces, aquel portafolio en el  cual el 5% de los peores escenarios posibles estén por debajo de él .

Mediante la formula de Excel PERCENTIL (matriz,K), donde matriz corresponde a la serie de  datos de Vt y k corresponde a α=0.05 tenemos:

Vc=  95.938 y  como VAR= Vo-Vc.

Entonces  VAR= 100- 95.938= 4.06

Por lo tanto existe un 5% de probabilidad (5 veces de cada 100) de obtener una pérdida diaria mayor a $4.06M si el mercado se encuentra en condiciones normales y no cambiamos la composición del portafolio.

Otra manera de calcular el VaR es asumiendo directamente una distribución normal de probabilidades  para los rendimientos. Por lo tanto si con ese supuesto calculamos la desviación estándar σ y el rendimiento promedio Rp, podremos saber directamente donde se encuentra los peores 5% valores del portafolio.

Ya que necesitamos saber cuantas desviaciones estándar se tiene que mover el activo para obtener la máxima pérdida con  un 95%  de confianza , bajo los supuestos de una distribución normal, aproximadamente será:

95% = -1.65*σ     o    99%= -2.33*σ

Suponga  que los rendimientos promedios diarios de un activo  y su desviación estándar  sobre  250 datos son:

Promedio

0,337%

Desv estan

0,02480449

Por lo tanto con un nivel de confianza del 95% podremos esperar que la máxima pérdida diaria sea de = -1.65*0.0248 = -4.09%,  es decir si el valor de mi cartera hoy vale $100M , hay 5 chances sobre  100 que pueda perder $4.09M en un día.

Los datos del promedio y Desv corresponden a un solo activo, sin embargo, cuando existen varios activos en un portafolio, no solo tenemos que tener en cuenta los rendimientos esperados de cada activo o sus desviaciones, si no también las relaciones que existen entre cada uno de los activos entre si,  es decir sus covarianzas, mediante Excel  podemos calcularlas mediante la fórmula  COVAR (matriz1;matriz2), donde matrizX=rango de los datos de los rendimientos diarios Rt del activo x. Si tenemos 3 activos Obtendremos una matriz como la siguiente:

De acuerdo a la participación de cada activo en % (q) en el portafolio, podemos entonces ahora si determinar  el rendimiento del portafolio  y su varianza:

Rp= q1*(1+R1))+(q2*(1+R2))+(q3*(1+R3) donde R= rendimiento promedio del activo i

La desviación estándar del portafolio será entonces : √(Varianza portafolio)

y mediante la aproximación  95% = -1.65*σ o  con  99%= -2.33*σ podemos hallar el VAR del portafolio.

Conclusiones

Hay que tener en cuenta que en estos métodos de cálculo del VaR, estamos asumiendo dos grandes supuestos: lo que sucedió en el pasado puede ocurrir en el futuro, implícitamente le estamos dando igual ponderación de importancia a todos los datos, asumiendo entonces también  que la varianza permanecerá constante en el tiempo,  por lo cual no lo es del todo cierto, ya que existen variables no estacionarias en el tiempo, las cuales modifican el comportamiento y la varianza /volatilidad de un activo, así como ignoramos la incorporación de nuevos riesgos en los activos y del mismo  mercado.

Además, si asumimos una distribución de probabilidad normal, no necesariamente todos los activos se comportan de esa manera, ya que si existen muchos valores extremos en una de las colas de la distribución, el VaR calculado estaría subestimando  estos valores.

Para resolver estos problemas, existen otros modelos más sofisticados como modelos de ajuste que permiten que la varianza no sea estacionaria, tales como los modelos autorregresivos de media varianza, modelos autoregresivos con medias móviles, o modelos de simulaciones de Montecarlo los cuales requieren de mayor conocimiento en el campo estadístico y económico.

Sin embargo no se preocupe, sea cual sea el modelo utilizado la interpretación del Var es la misma, determinar nuestra máxima pérdida en un  periodo de tiempo determinado bajo circunstancias “normales” del mercado.

por Lilian A. Mora


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